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InsetFace 内插面算法实现

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InsetFace 内插面算法实现——从二维 Offset 到三维区域求解

在建模软件里，Inset Face 看起来是一个很小的操作：选中一个面，拖一下厚度，轮廓往里缩一圈；如果再给一点 Depth，它就变成一个凹进去或者凸出来的结构。

但是，如果仅把 inset 理解成把所有顶点朝中心点拉一拉，结果基本不会太理想。

这里记录的是我实现 InsetFace 插件时整理出来的一套做法。它不是一个学术级的 mesh offset 系统，更像是面向交互式建模工具的工程实现：常见情况尽量正确，复杂情况给出可控近似，出问题时优先保证预览不炸。整体思路参考了 Blender、Maya 这类现代 3D 软件里的 inset 行为，我是做法仅供参考，如果要做生产级实现，还是建议直接去看这些软件本身的代码和数据结构设计。

一、问题怎么拆

如果只处理一个平面多边形，inset 的定义其实很清楚：每条边向内部平移一段距离，然后相邻平移边求交，得到新的内轮廓。

麻烦在于建模软件里的面不是孤立的二维多边形。它们在三维空间里，可能多个面连成一个区域，区域还可能不是共面的。Thickness 到底表示顶点移动距离，还是边到边的真实距离，也会影响最后的算法分支。

我最后把实现拆成了三层：

  1. 单面 inset
    把 3D 面投影到局部 2D 平面，在 2D 里做 polygon offset，再抬回 3D。
  2. 普通区域 inset
    每个面先做局部 inset，然后把共享顶点的切向位移做加权融合。
  3. 区域 EvenOffset inset
    如果区域近似共面，就做统一的 2D 区域 offset；如果明显非共面，就走曲面感知的 3D 切向近似。

所以这个插件的核心大概可以写成：

InsetFace=2D polygon offset+local frame projection+half-edge boundary extraction+tangent displacement smoothing\normalsize \text{InsetFace} = \text{2D polygon offset} + \text{local frame projection} + \text{half-edge boundary extraction} + \text{tangent displacement smoothing}

这几个部分听起来分散，但实现里基本就是围绕这条线组织的。

二、先把问题拉回二维

3D - 2D Offset - 3D
3D - 2D Offset - 3D

单个面 inset 最适合先变成 2D 问题。给定面顶点：

x0,x1,…,xn−1\normalsize \mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_{n-1}

先计算面法线。我这里用的是 Newell 风格的多边形法线累积：

nx+=(yi−yi+1)(zi+zi+1)\normalsize n_x += (y_i - y_{i+1})(z_i + z_{i+1})
ny+=(zi−zi+1)(xi+xi+1)\normalsize n_y += (z_i - z_{i+1})(x_i + x_{i+1})
nz+=(xi−xi+1)(yi+yi+1)\normalsize n_z += (x_i - x_{i+1})(y_i + y_{i+1})

然后归一化：

n^=n∥n∥\normalsize \widehat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}

局部坐标系用面上的第一个点作为原点：

o=x0\normalsize \mathbf{o} = \mathbf{x}_0

再找一条有效边作为 u\normalsize u 方向：

u=x1−x0∥x1−x0∥\normalsize \mathbf{u} = \frac{\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_0} {\|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_0\|}

第二个基向量由法线叉乘得到：

v=n^×u\normalsize \mathbf{v} = \widehat{\mathbf{n}} \times \mathbf{u}

这样三维点 x\normalsize \mathbf{x} 就可以投影成二维坐标：

q=[(x−o)⋅u(x−o)⋅v]\normalsize \mathbf{q} = \begin{bmatrix} (\mathbf{x} - \mathbf{o}) \cdot \mathbf{u} \\ (\mathbf{x} - \mathbf{o}) \cdot \mathbf{v} \end{bmatrix}

二维 offset 得到新点 q′\normalsize \mathbf{q}' 后，再回到 3D：

x′=o+qx′u+qy′v+dn^\normalsize \mathbf{x}' = \mathbf{o} + q'_x \mathbf{u} + q'_y \mathbf{v} + d\widehat{\mathbf{n}}

这里的 d\normalsize d 对应用户输入的 Depth。

单面流程可以概括成：

TEXT

3D 多边形
→ 计算局部平面
→ 投影到 2D
→ 2D offset
→ 反投影回 3D
→ 沿法线加 Depth

这个路径后面会反复用到。区域算法看起来更复杂，但底层依然依赖稳定的局部 2D offset。

三、OffsetLoop2D

这里是真正实现轮廓偏移的地方。

OffsetLoop2D() 是整个实现里最核心的函数。输入是二维闭合多边形：

P={p0,p1,…,pn−1}\normalsize P = \{\mathbf{p}_0, \mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_{n-1}\}

输出是内缩后的多边形：

P′={p0′,p1′,…,pn−1′}\normalsize P' = \{\mathbf{p}'_0, \mathbf{p}'_1, \dots, \mathbf{p}'_{n-1}\}

首先要判断多边形方向。二维有向面积为：

A(P)=12∑i=0n−1cross⁡(pi,pi+1)\normalsize A(P) = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} \operatorname{cross}(\mathbf{p}_i, \mathbf{p}_{i+1})

其中：

cross⁡(a,b)=axby−aybx\normalsize \operatorname{cross}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = a_x b_y - a_y b_x

如果 A(P)>0\normalsize A(P) > 0，多边形是逆时针；如果 A(P)<0\normalsize A(P) < 0，则是顺时针。

为了后面统一处理，我用了一个方向符号：

s={1,A(P)≥0−1,A(P)<0\normalsize s = \begin{cases} 1, & A(P) \ge 0 \\ -1, & A(P) < 0 \end{cases}

对当前顶点 pi\normalsize \mathbf{p}_i，取前后两条边的单位方向：

d0=pi−pi−1∥pi−pi−1∥\normalsize \mathbf{d}_0 = \frac{\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1}} {\|\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1}\|}
d1=pi+1−pi∥pi+1−pi∥\normalsize \mathbf{d}_1 = \frac{\mathbf{p}_{i+1} - \mathbf{p}_i} {\|\mathbf{p}_{i+1} - \mathbf{p}_i\|}

二维左法向定义为：

perpLeft⁡(x,y)=(−y,x)\normalsize \operatorname{perpLeft}(x,y)=(-y,x)

于是两条边的 inward normal 写成：

n0=s⋅perpLeft⁡(d0)\normalsize \mathbf{n}_0 = s \cdot \operatorname{perpLeft}(\mathbf{d}_0)
n1=s⋅perpLeft⁡(d1)\normalsize \mathbf{n}_1 = s \cdot \operatorname{perpLeft}(\mathbf{d}_1)

接下来分两种情况：普通 inset 和 Offset Even。

四、普通 Inset

不开启 Offset Even 时，我用的是比较轻的方案：顶点沿相邻两条边 inward normal 的角平分方向移动。

角平分方向为：

b=n0+n1∥n0+n1∥\normalsize \mathbf{b} = \frac{\mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_1} {\|\mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_1\|}

新顶点为：

pi′=pi+tb\normalsize \mathbf{p}'_i = \mathbf{p}_i + t\mathbf{b}

这里 t\normalsize t 是 Thickness。

这个模式下，Thickness 更接近“顶点沿角平分线移动的距离”，不是严格的边到边距离。

如果该顶点的内角是 θ\normalsize \theta，实际边距大致是：

dedge≈tcos⁡θ2\normalsize d_{\text{edge}} \approx t\cos\frac{\theta}{2}

所以钝角处的实际边距会比输入厚度小，锐角处则会显得收缩更明显。这也是普通 inset 和 Offset Even 看起来不一样的原因。

这条路径的价值在于简单、快，而且稳定。作为交互式工具的默认轻量分支，它比较合适。

五、Offset Even

开启 Offset Even 后，Thickness 应该更接近真实的边距。这个时候不能只推顶点，而要平移边线。

Regular Inset vs Offset Even
Regular Inset vs Offset Even

对当前顶点 pi\normalsize \mathbf{p}_i，相邻两条边分别沿 inward normal 平移 t\normalsize t，得到两条偏移线：

L0(α)=(pi+tn0)+αd0\normalsize L_0(\alpha) = (\mathbf{p}_i + t\mathbf{n}_0) + \alpha\mathbf{d}_0
L1(β)=(pi+tn1)+βd1\normalsize L_1(\beta) = (\mathbf{p}_i + t\mathbf{n}_1) + \beta\mathbf{d}_1

新顶点是这两条线的交点：

(pi+tn0)+αd0=(pi+tn1)+βd1\normalsize (\mathbf{p}_i + t\mathbf{n}_0) + \alpha\mathbf{d}_0 = (\mathbf{p}_i + t\mathbf{n}_1) + \beta\mathbf{d}_1

这个点满足：

dist⁡(pi′,Ei−1)≈t\normalsize \operatorname{dist}(\mathbf{p}'_i, E_{i-1}) \approx t
dist⁡(pi′,Ei)≈t\normalsize \operatorname{dist}(\mathbf{p}'_i, E_i) \approx t

也就是说，Offset Even 的语义更接近传统建模软件里的等距 inset。

但它也更容易遇到数值问题。两条边接近平行时，交点会跑得很远；角很尖时，miter 也可能被拉成一根长刺。所以这里必须加限制。

六、Miter Limit

Offset 里的尖角很麻烦。两条偏移线夹角太小时，求出来的交点可能离原顶点非常远，形成一个夸张的 miter。

我的处理是：如果直接求交失败，或者结果不稳定，就退回到角平分线方向。

角平分方向仍然是：

b=n0+n1∥n0+n1∥\normalsize \mathbf{b} = \frac{\mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_1} {\|\mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_1\|}

理论上的 miter 长度为：

ℓ=tb⋅n1\normalsize \ell = \frac{t}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{n}_1}

候选点为：

pi′=pi+ℓb\normalsize \mathbf{p}'_i = \mathbf{p}_i + \ell \mathbf{b}

但实际实现里会限制长度：

∣ℓ∣≤∣t∣M\normalsize |\ell| \le |t|M

普通模式使用：

M=8.0\normalsize M = 8.0

Offset Even 模式使用：

M=12.0\normalsize M = 12.0

这两个数不是推导出来的，是工程里调出来的。太小会把尖角削得很平，太大又容易把预览拉飞。现在这个范围能保留一定锐利感，也不会让单个极端角把整个轮廓弄坏。

七、Offset 结果要做合法性检查

二维 offset 得到的候选轮廓不一定可用。厚度过大时，多边形可能塌缩、自交，甚至方向翻转。凹多边形和窄长面尤其容易出问题。

所以 OffsetLoop2D() 生成候选轮廓后，我会做几类检查。

面积不能接近零：

∣A(P′)∣>ε\normalsize |A(P')| > \varepsilon

方向不能翻转：

sign⁡(A(P′))=sign⁡(A(P))\normalsize \operatorname{sign}(A(P')) = \operatorname{sign}(A(P))

同时还要检查不能自交。

如果检查失败，我没有让它直接报错，而是缩小厚度后重试，最多尝试 8 次：

tk+1=0.5tk\normalsize t_{k+1} = 0.5t_k

八、Individual 模式

有了单面 inset，Individual 模式就比较直接，每个面独立内插即可。每个选中面独立执行：

TEXT

取面顶点
→ 计算面法线
→ 建立局部 2D 坐标
→ OffsetLoop2D
→ 抬回 3D
→ 生成内盖和侧壁

对面 f\normalsize f 中的顶点 i\normalsize i，最终位置可以写成：

xf,i′=of+qf,i,x′uf+qf,i,y′vf+dn^f\normalsize \mathbf{x}'_{f,i} = \mathbf{o}_f + q'_{f,i,x}\mathbf{u}_f + q'_{f,i,y}\mathbf{v}_f + d\widehat{\mathbf{n}}_f

这个模式局部稳定，特别适合多个不共面的独立面。

它的限制也很直接：两个相邻面如果共享一条边，各自独立 inset 后，新边不一定协调。区域模式就是为了解决这个问题做的。

九、Region 普通模式

在 Region 模式下，如果没有开启 Offset Even，我没有直接把整个区域压到一个平面里做 offset。原因很简单：区域一旦不是共面，投影平面上的距离就不再可靠，做出来的 inset 会带明显变形。

这里采用的做法是：每个面先局部 inset，得到局部位移；然后把这些位移投影到顶点切平面，再对共享顶点做加权融合。

对面 f\normalsize f 中的顶点 v\normalsize v，局部 inset 给出：

xf,vinset\normalsize \mathbf{x}^{inset}_{f,v}

局部位移为：

Δxf,vlocal=xf,vinset−xv\normalsize \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} = \mathbf{x}^{inset}_{f,v} - \mathbf{x}_v

由于不同面法线不一样，这个位移里可能混有不一致的法向分量。于是先投影到顶点平均法线对应的切平面。

设顶点平均法线为：

n^v\normalsize \widehat{\mathbf{n}}_v

切向位移为：

Δxf,vtan=Δxf,vlocal−(Δxf,vlocal⋅n^v)n^v\normalsize \Delta \mathbf{x}^{tan}_{f,v} = \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} - \left( \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} \cdot \widehat{\mathbf{n}}_v \right) \widehat{\mathbf{n}}_v

权重用顶点处的角度。某个面在这个顶点占的角越大，它对最终位移的贡献也应该越大：

wf,v≈∠(eprev,enext)\normalsize w_{f,v} \approx \angle(\mathbf{e}_{prev}, \mathbf{e}_{next})

最终共享顶点的切向位移为：

Δxvtan=∑fwf,vΔxf,vtan∑fwf,v\normalsize \Delta \mathbf{x}^{tan}_v = \frac{ \sum_f w_{f,v} \Delta \mathbf{x}^{tan}_{f,v} }{ \sum_f w_{f,v} }

新位置为：

xv′=xv+Δxvtan+dn^v\normalsize \mathbf{x}'_v = \mathbf{x}_v + \Delta \mathbf{x}^{tan}_v + d\widehat{\mathbf{n}}_v

这个方法不是严格的区域 offset。它做的是在每个顶点的切空间里融合局部 inset 结果。精度上有妥协，但稳定性不错，尤其适合普通区域 inset 的交互预览。

十、Region + Offset Even

Region + EvenOffset 是最绕的一条分支。

我早期版本这里处理得比较简单：只要用户开启均等偏移，就把整个选中区域投影到一个统一的 2D 平面里，算完 offset 后再抬回 3D。平面模型上这套方案看着没什么问题，轮廓也干净，所以一开始我没有特别想过它。

问题是插件发给别人试用后才暴露的。他拿了一个带折角的区域测试，结果折角附近的 inset 边界偏到了不该去的位置，侧壁也开始出现不协调的扭曲。下面这张图就是当时的效果。

inset bug

这个 bug 的根源不在 OffsetLoop2D()。2D 里的等距偏移本身没有算错，真正的问题是统一投影这一步把折角处的局部切空间信息抹掉了。

早期做法相当于把所有切向位移都限制在同一个区域平面 Tregion\normalsize T_{region} 上：

Δxi2D=(qi,x′−qi,x)u+(qi,y′−qi,y)v\normalsize \Delta \mathbf{x}^{2D}_i = (q'_{i,x}-q_{i,x})\mathbf{u} + (q'_{i,y}-q_{i,y})\mathbf{v}

这个位移满足的是区域平面上的 offset 语义。可是在折角处，同一个共享顶点周围会有多个局部面，它们的切平面并不一致。先把这些面压到同一个 2D 平面里，再把结果抬回去，本质上就是用一个全局切平面替代了局部切空间。

这里还有一个容易误判的点：即使 Depth 最后仍然沿顶点平均法线加上去，问题也不会自动消失。因为 Thickness 对应的切向收缩方向已经在投影阶段被改写了。最后看到的侧壁扭曲，其实是前面边界目标位置就已经偏了。

所以后来我把 Region + Offset Even 拆成现在的两条路径：

  • 近共面区域继续走统一 2D offset，因为这时投影误差还在可控范围内；
  • 非共面区域不再强行压平，而是先用局部面 even inset 生成边界目标，再把位移投影到顶点切平面里传播。

这也是后面 nearly planar 判断存在的原因。它不是为了让流程更复杂，而是为了避免在折角、弯曲区域里误用单一投影平面。这个坑也提醒我，建模操作里很多“看起来可以统一成 2D 问题”的地方，最好先检查一下局部切空间有没有被一起丢掉。

十一、区域平面估计

区域中心取所有顶点的平均：

c=1N∑i=1Nxi\normalsize \mathbf{c} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_i

区域法线用面积加权的面法线平均：

n=∑fAfn^f\normalsize \mathbf{n} = \sum_f A_f \widehat{\mathbf{n}}_f

归一化：

n^=n∥n∥\normalsize \widehat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}

然后从区域中找最长边方向，投影到该平面作为 u\normalsize \mathbf{u}，再计算：

v=n^×u\normalsize \mathbf{v} = \widehat{\mathbf{n}} \times \mathbf{u}

这样就得到区域级的局部坐标系。

十二、近共面判定

我用了两个指标判断区域是否足够接近平面：

  1. 顶点到区域平面的最大距离；
  2. 面法线和区域法线的最大夹角。

设有效厚度为：

teff=max⁡(∣t∣,10−4)\normalsize t_{eff} = \max(|t|, 10^{-4})

只有同时满足：

dmax≤0.25teff\normalsize d_{max} \le 0.25t_{eff}

以及：

θmax≤8∘\normalsize \theta_{max} \le 8^\circ

才认为它是 nearly planar。

这个阈值也是偏工程的选择。直觉上，如果区域起伏相对 inset 厚度很小，把它压到一个 2D 平面里求 offset 是可以接受的。反过来，如果区域本身已经明显弯曲，统一投影就会制造更大的误差。

十三、近共面区域

整体思路为边界 Offset + Laplace 插值。

对 near planar 区域，先把所有区域顶点投影到统一 2D 平面：

qi=[(xi−c)⋅u(xi−c)⋅v]\normalsize \mathbf{q}_i = \begin{bmatrix} (\mathbf{x}_i - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{u} \\ (\mathbf{x}_i - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{v} \end{bmatrix}

然后用半边结构提取区域边界。

半边结构做这件事很顺手：如果一条半边在选中区域内部有 pair，它就是内部边；如果没有对应的区域内 pair，它就在区域边界上。沿这些边界半边继续追踪，就能得到一个或多个闭合边界环。

这里要处理孔洞。外边界和孔洞的 offset 方向相反：

对外边界：

tloop=t\normalsize t_{loop} = t

对孔洞：

tloop=−t\normalsize t_{loop} = -t

然后每个边界环调用：

TEXT

OffsetLoop2D(loop, t_loop, true)

边界点有了目标位置后，内部点还要跟着移动。当前实现里，我固定边界，对内部点做邻接平均迭代。对内部点 i\normalsize i：

qi(k+1)=1∣N(i)∣∑j∈N(i)qj(k)\normalsize \mathbf{q}^{(k+1)}_i = \frac{1}{|\mathcal{N}(i)|} \sum_{j\in\mathcal{N}(i)} \mathbf{q}^{(k)}_j

边界点固定不动，内部点迭代更新。

这相当于近似求解离散 Laplace 方程：

Δq=0\normalsize \Delta \mathbf{q} = 0

也就是 harmonic interpolation。

这里没有显式构造稀疏矩阵，而是用了固定次数的 Jacobi 型迭代。它不是最高效、最严格的线性系统解法，但实现简单，预览阶段也足够稳。

得到新的 2D 位置后，再回到 3D：

xi′=c+qi,x′u+qi,y′v+dn^i\normalsize \mathbf{x}'_i = \mathbf{c} + q'_{i,x}\mathbf{u} + q'_{i,y}\mathbf{v} + d\widehat{\mathbf{n}}_i

Depth 这里用的是顶点平均法线 n^i\normalsize \widehat{\mathbf{n}}_i，不是统一的区域法线。这样轻微弯曲的区域看起来会自然一些。

十四、非共面区域

如果区域不满足近共面条件，采用曲面感知的近似路径，不再把它硬投影到一个平面里。

这条路径的思路是：边界点由局部面 even inset 结果给出，内部点通过 3D 切向平滑传播。

先对每个相邻面做局部 even inset，得到边界顶点在每个面里的局部 inset 位置：

xf,vinset\normalsize \mathbf{x}^{inset}_{f,v}

局部位移为：

Δxf,vlocal=xf,vinset−xv\normalsize \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} = \mathbf{x}^{inset}_{f,v} - \mathbf{x}_v

然后投影到顶点切平面：

Δxf,vtan=Δxf,vlocal−(Δxf,vlocal⋅n^v)n^v\normalsize \Delta \mathbf{x}^{tan}_{f,v} = \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} - \left( \Delta \mathbf{x}^{local}_{f,v} \cdot \widehat{\mathbf{n}}_v \right) \widehat{\mathbf{n}}_v

再用角度权重融合，得到边界目标位移：

Δxvboundary=∑fwf,vΔxf,vtan∑fwf,v\normalsize \Delta \mathbf{x}^{boundary}_v = \frac{ \sum_f w_{f,v} \Delta \mathbf{x}^{tan}_{f,v} }{ \sum_f w_{f,v} }

边界位移固定后，内部点在 3D 里迭代传播位移。

对内部顶点 i\normalsize i：

Δxi(k+1)=ΠTi(1∣N(i)∣∑j∈N(i)Δxj(k))\normalsize \Delta \mathbf{x}^{(k+1)}_i = \Pi_{T_i} \left( \frac{1}{|\mathcal{N}(i)|} \sum_{j\in\mathcal{N}(i)} \Delta \mathbf{x}^{(k)}_j \right)

其中 ΠTi\normalsize \Pi_{T_i} 表示投影到顶点 i\normalsize i 的切平面：

ΠTi(a)=a−(a⋅n^i)n^i\normalsize \Pi_{T_i}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} - (\mathbf{a}\cdot \widehat{\mathbf{n}}_i) \widehat{\mathbf{n}}_i

最终位置为：

xi′=xi+Δxitan+dn^i\normalsize \mathbf{x}'_i = \mathbf{x}_i + \Delta \mathbf{x}^{tan}_i + d\widehat{\mathbf{n}}_i

这不是严格的 geodesic offset。严格曲面 offset 要处理测地距离、曲率、局部参数化和拓扑变化，在任意三角网格上会复杂很多。

但作为建模插件里的交互路径，这个近似比较实用：它不会因为区域轻微弯曲就失效，也不会把所有点强行压到一个平面里。当前实现里，如果这条曲面感知路径失败，会回退到普通 patch inset，而不是直接报错。

十五、预览和提交分开

这个插件里还有一个比较重要的工程结构：预览和提交分离。

预览阶段不会直接改原始网格，而是构建临时结构 TempRegion，里面保存：

  • 临时顶点；
  • 临时半边；
  • 临时面；
  • 边界环；
  • 区域平面；
  • inset 后的目标位置。

预览只生成可视化线条，比如新内轮廓边、原边界点到新边界点的连接线。

这个设计很实际。用户拖动参数时，插件可能一秒钟重建很多次结果。如果每次都直接写回真实拓扑，撤销、回滚、法线更新、坏几何清理都会变得麻烦。临时结构让预览轻很多，也能避免中间状态污染原始网格。

提交阶段才真正写回拓扑，大致流程是：

  1. 创建 inset 后的新顶点；
  2. 用新顶点生成内盖面；
  3. 用原边和新边生成侧壁四边形；
  4. 删除原始选中面；
  5. compact 网格；
  6. 更新法线。

侧壁四边形的顶点顺序是：

[xstartorig,xendorig,xendnew,xstartnew]\normalsize [ \mathbf{x}^{orig}_{start}, \mathbf{x}^{orig}_{end}, \mathbf{x}^{new}_{end}, \mathbf{x}^{new}_{start} ]

这样可以自然连接原边界和新内边界，同时保持面朝向一致。

十六、严格性和交互稳定性的取舍

写这类工具时经常会遇到一个 trade-off：到底要追求几何上更严格的 offset，还是先保证交互过程稳定、快速、可预期。

当前实现里有不少 trade-off：

  • 内部点使用固定次数邻接平均，而不是精确稀疏线性系统；
  • 非共面 Offset Even 是曲面感知近似，不是严格测地 offset；
  • UV 目前只做轻量处理，没有重新做完整参数化；
  • 自交处理采用缩小厚度重试，而不是完整 polygon clipping。

不用说，这些确实是目前插件的限制。但对这个插件来说，首先面对的是交互场景。用户拖动参数时算法要快；普通模型上结果要稳定；遇到局部坏几何时最好有 fallback；一个极端顶点不应该让整个操作崩掉。

所以它更像一个工程化的 inset solver，而不是一个完整的 polygon offset 或 mesh parameterization 系统。近似是存在的，但尽量放在能解释、能控制的位置。

十七、整体流程

InsetFace 的决策结构大致如下：

TEXT

InsetFace
│
├── Individual
│   └── 每个面独立：
│        3D 面 → 局部 2D → OffsetLoop2D → 回到 3D
│
└── Region
    │
    ├── EvenOffset = false
    │   └── 每面局部 inset
    │       → 位移投影到顶点切平面
    │       → 角度加权平均
    │
    └── EvenOffset = true
        │
        ├── nearly planar
        │   └── 区域统一投影到 2D
        │       → 提取边界环
        │       → 边界 even offset
        │       → 内部 Laplace 平滑
        │       → 回到 3D
        │
        └── nonplanar
            └── 局部面 inset 生成边界目标
                → 3D 切向位移平滑
                → 加 Depth

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